热传导方程不仅揭示了锻件在时间上非稳态性和空间上非均匀性之间的内在联系，而且能对锻件温度场进行普遍描述。然而对热传导方程通解的求取，必须先要明确热传导方程的单值性条件，才能进一步确定一个特定的温度场。锻造过程中的单值性条件有：初始条件和边界条件。

(1)初始条件

热态锻件在未受锻造加工时，不受内部热能影响。并受外界环境的影响时间也是极短，因此，在初始时刻 t=0，锻件的温度仍保持均匀分布。通过精密的测温系统

求得锻件初始温度，即初始条件：

其中：T(x,y,z,t)为锻件温度场；T0为锻件初始温度场。

(2)边界条件

热传导的过程中常用的边界条件可以分为三类：狄利科利条件、纽曼条件、Robin条件。对于三类边界的具体表述如下：

狄利科利条件是确定特定边界 M 上的温度和温度随时间变化规律，其表达式为：

其中：TM为边界上的温度。

纽曼条件是确定了特定边界M 上的热流密度和温度随时间的变化规律。其表达式为：

其中：n 为边界 M 外法线方向。

Robin 条件是在确定了物体和外界换热系数前提下，将物体边界M处的温度和其换热数进行线性化的连接。其表达式为：

其中：TW为外界温度。

在锻造过程中，热态锻件主要受外界环境和锻造加工作用的影响。由于锻件尺寸变化，锻件的形状、表面积也在不断地变化，并影响锻件表面的热交换系数。因此，结合锻件的尺寸变化，需要对锻件的表面热传导系数进行修正。本文以锻压过程中柱类锻件为例进行研究，在相邻单位时间内的热流量是相差无几的，即 Qτ ≈ Qτ+1。

因此，可得到如下关系式：

其中：?τ为在τ时刻下锻件与其外界环境的交换热传导系数；max Rτ为在τ时刻下锻件径向测量尺寸的最大值；min Rτ 为在τ时刻下锻件径向测量尺寸的最小值；Hτ为τ时刻下的锻件轴向测量尺寸。

结合上述的修正热传导系数，将 Robin 条件与锻造过程测量的温度、尺寸信息相结合，进而可确定锻造过程中的热传导方程的边界条件。在锻造过程中，锻件受外界环境影响作用时的径向边界条件为：

其中：λm为锻件的导热系数；Rτ为实时测量的锻件径向尺寸；?1 为受外界环境影响对流换热系数；TRτ为锻件径向表面的温度；Tw为环境温度。可将方程式(2-7)与在特定时刻τ时锻件测量温度相结合，进一步进简化为方程式(2-8)：

其中：T  ′为锻件的温度；?T'1τ为以外界环境为参考标准时的测量温度；κ1为外界换环境下修正的热交换系数和锻件导热系数的比值。由于在锻造过程中锻件的上下端面与锻造砧子接触，锻造时接触的换热系数与以上在外界环境中的换热系数是有所有所不同。因此，根据以上锻件受外界环境影响作用时的边界条件(2-7)的求取方法，可以获得在锻造过程中的锻件上下端面边界条件：

其中：?T'2?τ为锻件端面的温度；κ2为与砧子接触时修正的热交换系数与锻件导热系数的比值。

在热态锻件成形时，随着锻件几何形状和尺寸的不断变化，使得锻件与外部环境接触的表面积也在不断地变化。因此实时地结合锻件的测量尺寸，通过修正热交换系数的方法，将锻件尺寸变化形状因素对锻件温度的影响转化为修正热交换系数的方式对其进行补偿，更加进一步体现了锻件尺寸变化对锻件温度场研究重要意义。

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